Corona: Die mathematischen Grundlagen der Pandemie (oder: Wie wir zurück in ein normales Leben kommen)

In diesem Artikel möchte ich versuchen die mathematischen Zusammenhänge der pandemischen Virus-Verbreitung an hand von Infektionszahlen leicht verständlich darzustellen. Mit Blick auf diese Zusammenhänge wird schnell klar, dass wir mit dem Virus nicht verhandeln können. Nur mit klaren politischen Entscheidungen und Handlungsanweisungen für die Bevölkerung können wir die Ausbreitung stoppen, durchmauscheln geht nicht.

Gerade jetzt, wo wir wissen, dass Impfstoffe in greifbarer Nähe sind UND dass diese Impfstoffe nachhaltigen Schutz erwarten lassen, ist es um so wichtiger bis zur Impfkampagne nicht mehr unnötig viele Infektionen, Erkrankungen und Tote zu riskieren.

Die „Corona-Funktion“ und die 1. Ableitung und 2. Ableitung

Ableitungen…? Oh je…. Sorry an alle, die Mathematik in der Schule nicht so sehr geliebt haben, aber wir müssen da kurz durch. Wird auch nicht schlimm, versprochen!

Viele Menschen tun sich schwer damit zwischen den folgenden drei Zahlen-Reihen der Pandemie zu unterscheiden bzw. mit den Zusammenhängen zwischen ihnen:

Die erste Zahlenreihe ist die gesamte Anzahl an Infektionen. In Deutschland segeln wir da gerade recht flott auf 1 Million zu. Dann hat jeder 83-te im Land eine Covid-19-Infektion durchgemacht. Im Laufe der nächsten Woche haben wir diesen Punkt erreicht und haben dann 70% dieser Infektionen in nur knapp 8 Wochen geschafft!

Diese Zahl macht unsere Probleme, denn 1-2 % dieser infizierten Menschen sterben, 3-5% müssen auf der Intensiv-Station behandelt werden und 10-20% leiden unter den langanhaltenden Folgesymptomen der Infektion („Long Covid“), oft viele Monate lang.

Das Problem: Diese Zahl können wir als Gesellschaft nicht direkt beeinflussen, sie ist nur das Ergebnis der folgenden beiden Zahlenreihen.

Die zweite Zahlenreihe sind die Neuinfektionen, die sich an jedem Kalendertag ergeben. Das sind die Zahlen vom RKI, die unsere Medien täglich melden, aktuell sind das knapp 20.000 neue Infektionen pro Tag.

Diese Kurve zeigt also, wieviele neue Fälle Menschen sich pro Tag neu infiziert haben. Mathematisch gesehen ist das die erste Ableitung der Gesamtinfektionszahl (darüberliegende Grafik), das ist quasi die “Geschwindigkeit” der Pandemie, gemessen in “Infektionen pro Tag”.

Auch für diese Zahl gilt: Diese Zahl können wir als Gesellschaft nicht direkt beeinflussen, denn sie ergibt sich aus der Anzahl der gestern aktiven Infektionen und dem Verhalten der Bevölkerung.

Was uns zur dritten Kurve bringt, dem Wachstum der Neuinfektionen, wo man für jeden Tag berechnet, ob die täglichen Neuinfektionenzahlen im Vergleich zur Vorwoche gesunken (gut!) oder gestiegen (schlecht!) sind. Das ist die zweite Ableitung der Gesamtanzahl der Infektionen.

Das ist jetzt endlich der Zahlenwert, den wir als Gesellschaft mit Veränderungen in unserem kollektiven Verhalten verändern können. Weniger Kontakte und besserer Schutz lassen diese Kurve absinken, mehr Kontakte und laxerer Umgang lassen sie steigen.

Im März, April und Mai kann man gut sehen, wie der erste Lockdown dazu geführt hat, dass wir jeden Tag ein negatives Wachstum hatten. Hier kommen nochmal alle drei Kurven in einer Übersicht, der Frühlingslockdown und die nachfolgende Kontrollphase ist in rosa dargestellt:

• Unterste Kurve: Veränderung des Wachstum ist negativ
• Mittlere Kurve: Neuinfektionen sinken
• Oberste Kurve: Infektionszahlen flachen ab

Tönnies erzeugte einen Peak im Juni, aber auch nur weil das Gesamtinfektionsgeschehen so niedrig war. So ein Ausbruch würde heute gar nicht mehr auffallen in den Zahlen.

Aber davon abgesehen hatten wir die Ausbreitung des Corona Virus gut im Griff – bis zu den Sommerferien. Bis dahin hatten wir zu viele Einschränkungen aufgehoben (weil man sich “sicher fühlte” mit Blick auf die Grafik ganz oben, war ja “nicht viel los”, aber das war eine trügerische Ruhe). Dann kamen auch noch die Urlaubsheimkehrer und brachten neue Infektionen mit.

Seit dem gab es praktisch keine Atempause mehr, die Anzahl der Neuinfektionen stieg und stieg, die zweite Welle (grau hinterlegt). Im Oktober lag das Wachstum bei über 50%, bis die Herbstferien dazwischenfunkten und dann bis zum “Lockdown Light” (ab 3.11.), der aber nicht stark genug ist, um das Wachstum ernsthaft ins Minus zu drehen. Wir stecken fest.

So, und jetzt kommen zwei Erkenntnisse, die man so nicht direkt erwarten würde, die aber fundamentalen Einfluss auf unsere Entscheidungen als Gesellschaft haben (müßten).

Erste nicht-intuitive Erkenntnis

Wenn wir Maßnahmen verschärfen oder lockern, verändern wir nur die zweite Ableitung (=dritte Kurve, das Wachstum der Neuinfektionen), die anderen beiden Kurven folgen dann erst mit der Zeit. Die durch Maßnahmen-Lockerung/Verschärfung verursachte Veränderung des Wachstums ist dabei völlig unabhängig davon, wie viele tägliche Neuinfektionen gerade im Gange sind. Das schreibt auch die Ökonomie-Professorin Dina D. Pomeranz:

Mit nicht-intuitiv meine ich, dass ein harter Lockdown bei 20.000 Neuinfektionen/Tag das Wachstum genauso wie bei 200 Neuinfektionen/Tag verändert. Aber….

Zweite nicht-intuitive Erkenntnis

Je später man diese schärferen Maßnahmen verhängt (also die zweite Ableitung verändert), desto länger dauert es, bis die Anzahl der Neuinfektionen pro Tag wieder bei null ankommt. Ein späterer Lockdown tut also viel mehr weh als ein früherer Lockdown, weil der Lockdown bei gleicher Härte länger aufrechterhalten werden muss.

Als Analogie kann man ans Autofahren denken: Die grundlegende Funktion ist die Strecke, die man fährt, in km. Die erste Ableitung ist die Geschwindigkeit in km/h. Die Geschwindigkeit kann man ändern mit Gas geben und Bremsen, was dann der zweiten Ableitung entspricht (km/s²). Da die Bremse nur eine bestimmte Bremsleistung hat, dauert ein Bremsen aus hoher Geschwindigkeit länger als bei niedrigerer Geschwindigkeit, der Bremsweg wird länger.

Neuseeland hat das z.B. genau verstanden und macht Lockdowns schon bei ein paar Handvoll Neuinfektionen. So sieht “science-based policy” aus.

Jetzt haben wir in Deutschland im Moment das Kunststück geschafft, dass wir ein Nullwachstum haben. Die Kombination der aktuellen Maßnahmen wirken leider nur so gut, dass die Anzahl der Neuinfektionen gleich bleibt. Toll wäre es, wenn wir diese Situation bei sehr niedrigen Neuinfektionszahlen hätten. Wir haben aber aktuell 20.000 neue Infektionen pro Tag und müssen da schnell von runter.

Lockdown: Hart oder sehr hart?

Jetzt werden also die Bundeslandoberhäupter am nächsten Mittwoch mit Kanzlerin Merkel zusammen über schärfere Regeln diskutieren. Sollten sie lieber nur wenig verschärfen, um die direkten Auswirkungen des Lockdowns abzumildern, oder eher härtere Regeln aussprechen, die schneller wirken? Es ist abzuwägen zwischen Schäden, die durch kurze&harte Lockdown-Regeln entstehen, im Vergleich zu den Schäden, die durch einen längeren&weicheren Lockdown verursacht werden. Und welche Maßnahmen versprechen wie viel Wirkung in der zweiten Ableitung? Es bleiben ja nicht viele zusätzliche Maßnahmen übrig: Schulen ganz oder halb zu, Firmen zu, Bewegungseinschränkungen, Ausgangssperren? Ich bin froh, dass ich das nicht entscheiden muss. Wünsche mir aber trotzdem, dass mutige “science-based” Entscheidungen getroffen werden.

Wie lang ist der Weg zurück?

Im April/Mai hatten wir es für längere Zeit geschafft, das Negativwachstum bei -30% zu halten. Wenn wir das jetzt wieder schaffen würden ab 28.11.2020, dann wären wir erst im Januar wieder bei einer deutschlandweiten Inzidenz unter 20. Warum im Moment die Politiker gerne von der 50er Grenze sprechen, insbesondere als deutschlandweiter Grenzwert, ist mir unverständlich, denn genau an der Grenze ist uns ja die Kontrolle bereits im Oktober schon einmal verloren gegangen. Wir müssen da also drunter, denke ich.

Mit weniger harten Maßnahmen und einem Negativ-Wachstum von nur -20% oder nur -10% dauert der gleiche Vorgang dann bis Februar oder gar April.

Weil wir das Tageswachstum auf 20.000 Neuinfektionen nach oben haben gehen lassen, haben wir jetzt ein Megaproblem und müssen hart UND lange dagegen halten. Das ist quasi die Konsequenz daraus, dass wir nicht gleich beim steilen Anstieg des Wachstums Anfang Oktober mit harten Maßnahmen dagegen gehalten haben, dann wäre ein 3 Wochen-Lockdown evtl. ausreichend gewesen, um die Lage wieder unter Kontrolle zu bekommen.

Weil aber damals viele Menschen auf die Anzahl der Infektionen geschaut haben (und sich sagten, “hey, das ist ja nicht so schlimm”), und nicht auf die zweite Ableitung, die deutlich nach oben abknickte, haben wir jetzt den Salat. Dann haben wir seit November nur ein Lockdown-chen verkündet, das bereits vielen Menschen drastische Entbehrungen abverlangt für die Gesellschaft (Kund/Kultur/Gastronomie), aber eben nicht wirkungsvoll genug ist, um aus der Nummer schnell rauszukommen.

Und wie geht es dann nach den härteren Maßnahmen im nächsten Jahr weiter?

In der Tabelle oben haben wir gesehen, dass man bis mindestens Weihnachten/Sylvester verschärfte Maßnahmen aufrecht erhalten müßte, damit in ganz Deutschland die Gesundheitsämter wieder mit der Kontaktverfolgung hinterherkommen (Inzidenz deutlich unter 30-50). Dann haben wir die zweite Welle hinter uns, und etwa die Hälfte der Pandemie geschafft. Bis genügend Menschen geimpft sind, sodass kein exponentielles Wachstum mehr möglich wäre, dauert es bis in den Herbst 2021. Dann wären wir jetzt gerade bei der Hälfte und es ist noch genug Zeit, das nochmal zu versemmeln und eine dritte oder vierte Welle zu riskieren. Immerhin wird es jetzt mit neuen Werkzeugen wie Schnelltests etwas einfacher, und langsam haben es auch alle verstanden, dass Masken unabdinglich sind.

Ab Januar müssten wir aber, wenn es in der 2. Ableitung wieder zu einem Umschwung auf Wachstum kommen sollte, rasch harte Maßnahmen ausgesprochen werden. New York hat z.B. die Regel, dass ab einer Positiv-Rate der Tests von 3% die Schulen geschlossen werden.

Tomas Pueyo beschreibt die nötigen Maßnahmen in seinem Artikel “Die Schweizer-Käse-Strategie“. Dass es möglich ist ohne Wellen durch die Pandemie zu kommen, zeigt er mit dieser Grafik, die die Verläufe in Amerika, Europa und Asien vergleicht.

Am Ende geht es darum, mit so einer Null-Linie wie in Asien durch das Jahr 2021 zu kommen: #covidzero! Dann könnten wir uns in vielen Bereichen fast normal bewegen im Alltag (abgesehen von Masken, Abstandhalten und ohne größere Veranstaltungen).

Wenn wir aber wieder zu locker lassen, kommt dann einfach die dritte Welle. Weil Mathematik.

Ein paar abschliessende Gedanken dazu

1. Tomas Pueyo schreibt: “With #coronavirus, you can’t just have a few cases. You either have close to zero, or you have a lot.”

2. Isabella Eckerle, Virologin, schreibt: “There is no „live with the virus”: it’s either efficient infection control to live without the virus, or uncontrollable spread. There’s no middle ground.”

PS: Aber der R-Wert?

Die in meinem Artikel betrachtete Kennzahl des Wachstums der Neuinfektionen (zweite Ableitung) entspricht im übertragenen Konzept auch dem R-Wert. R gibt an wie viele weitere Menschen ein Infizierter ansteckt. Liegt R unter eins sinken die Neuinfektionen, liegt R über eins steigen die Neuinfektionen, und zwar exponentiell. Mir erschien das % Wachstum über 7 Tage leichter erklärbar zu sein.