Corona: Eine Pandemie-Modellrechnung für 2021 (RFC)

Update 4.3.2021:
Es gibt ein Update auf V3 dieses Modells, bitte dort weiterlesen.

Hase oder Igel? Gewinnen die Impfungen oder die Mutationen?

Wir alle sind pandemie-müde, wollen nur noch raus aus dem Lockdown. Brauchen eine Verschnaufpause. Aber die harte Wahrheit ist: Wir haben zwar den Ansturm der zweiten Welle gerade fast niedergerungen, aber mit den Mutationen wie B.1.1.7 gelten jetzt andere Regeln. Man kann sich das schon ein bisschen wie eine weitere Pandemie mit einem ansteckenderen Virus vorstellen, die durch die deutlich höhere Ansteckungsrate schwerer zu kontrollieren ist.

„Wir haben quasi eine Pandemie in der Pandemie in der Pandemie. Das geht so lange weiter, bis wir auch die Ausbreitung der letzten Variante kontrollieren können.“ sagt Biontech-Chef Uğur Şahin im Spiegel in einem insgesamt hoffnungsvollen Interview.

Die nächsten Woche werden geprägt sein vom Für und Wider von Lockerungen und Verschärfungen. Auf oder zu? Wer hat recht? Und was passiert wenn wir mehr auf oder mehr zu machen? Unser Bauchgefühl ist angesichts von exponentielle Pandemie-Arithmetik aber kein guter Ratgeber dabei.

Für solche Fragestellungen holt man sich Hilfe bei der Mathematik, denn die Pandemie folgt sehr simplen mathematischen Konzepten. In der Tat ist der Verlauf der Pandemie sehr gut berechenbar. Dagegen sind die Veränderungen der Regelungen und das Verhalten der Menschen schwer zu berechnen. Und dann ist da noch die Frage, ob wir das Impftempo steigern können. Und was uns das bringt…

Im Folgenden möchte ich ein sehr vereinfachtes Prognose-Modell vorstellen, mit dem wir für die Pandemie bis Ende 2021 in die Zukunft schauen können, und bei dem wir dann mit Lockerungen/Verschärfungen oder schnelles/langsames Impfen „spielen“ können, um die Auswirkungen in den Folgemonaten zu sehen.

Prognosen sind schwierig, vor allem wenn sie die Zukunft betreffen ^{(Mark Twain)}

Nach meiner Beobachtung ist die Wirkung von exponentiellen Prozessen auch nach einem Jahr Pandemie immer noch nicht vollständig in der öffentlichen Diskussion durchgedrungen. Deshalb nun dieser Versuch, das Verständnis zu verbessern.

WICHTIG: Dies ist ein modell-basierter Beitrag zur Debatte um Corona und dem Umgang damit. Ich stelle hier ein sehr einfaches und damit nachvollziehbares Berechnungsmodell vor, in das sich interessierte Leser eindenken können und das auf ganz einfacher Mathematik basiert. Dies ist ein bewusster Gegenentwurf zu den komplexen Modellen der Epidemiologen, in die man als Laie nicht reinschauen kann.

Diese Prognose möchte ich bitte nicht als Doomsday-Szenario verstanden wissen, aber es darf uns aufrütteln und klar machen, dass es sehr schwer werden wird, mit den aktuellen Methoden (Kanzlerin und MP treffen sich alle 2 Wochen und entscheiden) den möglichen Auswirkungen eines exponentiellen Wachstums beizukommen.

Ich bitte um Kommentare, Kritik, Verbesserungsvorschläge. Die Google Sheet Datei ist öffentlich einsehbar (Link am Ende des Artikels). Dabei freue ich mich über jeden der mir nachvollziehbar erklärt, warum meine folgenden (unschönen) Ergebnisse so nicht kommen werden. Diskussion bitte per Twitter an @dpaessler.

Grundkonzept

Ich gehe aus von den wöchentlichen Inzidenzzahlen für die verschiedenen Altersgruppen, die das RKI wöchentlich zur Verfügung stellt. Diese Grafik dazu kennen wir aus dem RKI Bericht:

Jetzt wende ich eine Vereinfachung an, um die Inzidenzen für die Zukunft weiter zu berechnen: Ich lasse ab Woche 7/2021 die Inzidenz in jeder Altersgruppe unabhängig voneinander weiterlaufen. Und zwar gehe ich davon aus, dass 30% der Fälle in Woche 7 bereits die Mutationen sind, die sich alle 2 Wochen verdoppeln. Die anderen 70% sind der „Wildtyp“, der im Lockdown jede Woche um ca. 20% absinkt. Cornelius Römer hat dieses Konzept hier mit den aktuellen Werten der Stadt Köln gezeigt:

Schritt 1: Modellierung der Impfungen

Um den weiteren Verlauf der Pandemie berechnen zu können, müssen wir die Wirkung der Impfungen berechnen. Bisher wurden nur 1,5 Mio Menschen der 5,7 Mio Menschen aus der Gruppe 80+ geimpft. Nach den Angaben des Gesundheitsministeriums rechnet man in Deutschland mit 2,3 Mio Impfdosen pro Woche für die nächsten Wochen, damit können 1,15 Mio Menschen geimpft werden. Ab Mai sollen es 3 Mio Impfungen pro Woche werden.

Damit brauchen wir für die Gruppe Ü80 noch 3-4 Wochen, für die Gruppe 70-79 (7,5 Mio). ca. 6 Wochen und für die Gruppe 60-69 (10,5 Mio) dann ca. 7 Wochen. Ab Juni dann 3 Mio Impfungen pro Woche für die Gruppe 35-59 (28 Mio), und das zieht sich. Danach die 16 Mio 18-35-Jährigen, das geht dann bis ins nächste Jahr. Für Kinder und Jugendliche gibt es noch nicht mal einen Plan oder zugelassenen Impfstoff, die bleiben ungeimpft bis Ende des Jahres.

Das habe ich für meine Berechnungen wie folgt modelliert (ich gehe vereinfachend von einer maximalen Impfquote von 80% aus, die zur Herdenimmunität führt).

Schritt 2: Modellierung der Inzidenzen und Fallzahlen

Nun berechne ich die Inzidenzen für jede Altersgruppe, jeweils getrennt für Wildtyp und Mutationen, nach der folgenden Formel für alle Folgewochen, die Summe der beiden Werte ergibt die Gesamtfallzahl:

• t: die Kalender-Woche
• n_Alter(t): Inzidenz (je 100k Einwohner) je Kalenderwoche für eine Altersgruppe
• g_7-Tage: Der 7-Tage Wachstum (0,8 für Wildtyp entspricht R=~0,9 und 1,4 für Mutationen entspricht R=~1,2)
• i_Herde: Herdenimmunität (ich verwende hier 80%)
• q_Alter(t): Die Impfquote für eine Altersgruppe in der betreffenden Kalenderwoche

Die Inzidenz von dieser Woche ergibt sich aus der Inzidenz der Vorwoche. Jede Woche wächst/sinkt die Anzahl der Neuinfektionen um das 7-Tage-Wachstum, aber die in jeder Woche noch infizierbare Gruppe sinkt beständig durch die vergangenen Infektionen und durch die Impfungen. Damit bekomme ich den weiteren Verlauf der Pandemie bis zum Erreichen der Herdenimmunität – in jeder Altersgruppe entweder durch Infektion oder bis Impfung – wenn wir die Lockdown-Verhältnisse von Januar und Februar bis Ende des Jahres durchhalten würden.

Ja, das sieht nicht gut aus. Alle Altersgruppen unter 60 rauschen ab KW 17 (Anfang Mai) ins exponentielle Wachstum und bis Ende des Jahres haben wir mit Durchseuchung und Impfung Herdenimmunität erreicht, keiner steckt sich mehr an.

Berechnung von Sterbefällen, Intensiv-Patienten und stationären Patienten

Mit den oben hergeleiteten Fallzahlen wissen wir, wie viele Menschen sich pro Woche infizieren werden. Wenn wir nun noch die Wahrscheinlichkeiten für Versterben, Intensivstation und stationäre Aufnahmen mit in die Rechnung aufnehmen, können wir die Auswirkungen abschätzen. Dazu gehe ich von diesen Zahlen des RKI aus dem November aus:

Auch wenn die Sterberaten der Menschen unter 60 sehr niedrig sind, ein nennenswerter Anteil benötigt trotzdem die Krankenhäuser und Intensivstationen. Diese Gruppe wird meines Erachtens in der öffentlichen Diskussion viel zu wenig berücksichtigt, ebenso wie Longcovid. (Fast) alle reden nur von den Toten.

Anmerkung: Diese Zahlen sind wahrscheinlich etwas zu hoch, weil insbesondere bei den Jüngeren wahrscheinlich viele Patienten erst im Krankenhaus getestet werden. Wenn jemand bessere Zahlen hat, nehme ich gerne die.

Abschätzung der Sterbefälle

Immerhin, wir sehen, dass aus der Gruppe der 80er (blau, orange, grau) und 70er, die in den ersten beiden Wellen hart getroffen wurden, tatsächlich ab Woche 10 kaum mehr Tote beklagen zu sind. Danach gibt es aber noch zwei Berge der 60er um Woche 18 und der 40-59 jährigen um Woche 28. Das sind einige zehntausend Tote, für die die Impfung zu spät gekommen wäre.

Anmerkung: Die schwarze Linie sind die offiziell vom RKI gezählten Toten bis Woche 5/2021. Mein Modell berechnet im Winter ca. 50% mehr Tote, aber leider habe ich keine besseren Ausgangsdaten der Verstorbenen an den Fallzahlen gefunden. Selbst wenn mein Modell hier 50% übertreibt, die Sommer-Welle der Toten wäre enorm (Unterschied: 3.000 oder 4.500 Tote pro Woche).

Herr Lauterbach könnte also nicht ganz recht haben, die unter 40-jährigen trifft es nach meinem Modell auch noch erheblich:

Abschätzung der Intensivpatienten

Nach dem gleiche Modell berechnen wir die Neuzugänge auf den Intensivstationen: Weil auch die unter 60-jährigen Erwachsenen zwischen 5% und 15% zu Intensivpatienten werden, kommt für diese die Impfung zu spät, das exponentielle Wachstum der Mutationen ist schneller. Es würden massive, bisher nicht dagewesene Belastungen für die Intensivstationen entstehen, quer durch alle Altersstufen unter 60.

Da jetzt eher die jungen Menschen auf Intensiv kommen, die länger “kämpfen” als die alten Intensivpatienten (die schneller versterben), ergibt sich wohl noch eine zusätzliche Verstärkung der Belastung der Intensivstationen im Vergleich zur zweiten Welle.

Abschätzung der stationären Patienten und Belastungen der Notaufnahmen

Zwischen 3% und 11% der Infizierten müssen stationär aufgenommen werden. Der Ansturm der 60-69-Jährigen wird gerade noch gestoppt, alle anderen Altersstufen laufen in einen massiven Peak. Weil alle stationären Patienten durch die Notaufnahme gehen, ist dort auch mit Überlastung zu rechnen.

Szenario 1: Beenden des Lockdowns am 7.3.2021

Kommen wir zu unseren Handlungsoptionen. Bisher bin ich davon ausgegangen, dass wir den Lockdown auf dem Niveau der letzten 8 Wochen einfach weiterführen bis September. Wenn wir jetzt ab 7.3. (KW 10) wieder vieles öffnen, steigern wir das 7-Tage-Wachstum für den Wildtyp des Virus. Für dieses Szenario rechnen wir mal mit 7-Tage-Wachstum Erhöhung von 0,8 auf 1,2 (also von R=~0,9 auf R=~1,1), und für die Mutationen von 1,4 auf 1,8 (R von ~1,2 auf ~1,35). Damit beschleunigt die Verbreitung dramatisch, und die Impfungen haben keinerlei Chance mehr, das zu verhindern. 

Ich zeige hier nur die Kurven der Sterbefälle: Ab Ende April käme es zu extrem vielen Todesfällen in der noch eher vulnerablen Gruppe der 60-69 Jährigen, weil die bis dahin keinen Impfstoff gesehen hätten. 

Die Kurven für Intensiv- und Stationär-Patienten gehen noch viel mehr durch die Decke, weil alle Altersgruppen betroffen sind. Anfang Juni wäre die Herdenimmunität erreicht, und alles vorbei.

Szenario 2: Wir ziehen den Lockdown bis Ende April durch und verdoppelt die Impfgeschwindigkeit ab April.

Wenn wir die zweite Impfung für alle nach hinten schieben würden, könnten wir doppelt so schnell impfen. Wenn wir dann noch den Lockdown weiter aufrecht erhalten bis Ende April (KW17), sieht die Kurve der Todesfälle schon viel besser aus.

Auch die Situation auf den Intensivstationen und bei den stationären Patienten wird besser als mit frühem Lockdown-Ende, aber sie wird nicht besser als wenn wir den Lockdown beibehalten würden (vgl. zu oben):

Szenario 3: Wir machen weiter Lockdown und impfen doppelt so schnell

Nur wenn wir das aktuelle Lockdown-Niveau durchhalten UND doppelt so schnell impfen würden (und zwar inklusive der Kinder und Jugendlichen in diesem Szenario), kämen wir bei den Toten ganz gut durch, hätten aber trotzdem noch eine massiven Welle für die Intensivstationen und Krankenhäuser im Sommer:

Echt jetzt?

Dies ist ein mathematischen Modell. Ich wollte sehen, wie sich die Pandemie-Ausbreitung entwickeln könnte. Wenn ich (hoffentlich!) irgendwo einen Denkfehler eingebaut habe, dann würde sich das entsprechend korrigieren. Hinweise gerne an @dpaessler bei Twitter.

Interessanterweise kommt ein Modell der DIVI (erstellt von einer ganzen Reihe von Professoren), das gestern vorgestellt wurde während ich diesen Artikel geschrieben habe, zu sehr ähnlichen Ergebnissen. Leider betrachtet die DIVI die Entwicklung der stationären Aufnahmen/Notaufnahmen dabei nicht.

Die Macher des DIVI Modells schaffen es irgendwie die Gruppe 35-59 schon 2-3 Wochen früher zu impfen und sind bis Ende August durch (mein Modell braucht bis Ende September um diese Gruppe zu impfen). Beides sind eher spekulative Annahmen, das DIVI Modell ist also noch optimistischer als meins. Aber auch dort ist das Ergebnis: Lockdown bis mindestens Ende April & schneller impfen. Sonst: Problem!

Auf jeden Fall wird hier klar, dass wir JETZT keine breiten Lockerungen machen können. Den Raum z.B. für ein Öffnen der Schulen/Kitas, ohne massives Upgrade des Verhaltens dort (regelmäßige Tests, Luftfilter, Wechsel-Unterricht) oder für Erleichterungen für die Gastronomie kann ich hier nicht sehen. So hart wie das ist. Find ich genauso doof wie wir alle. Exponentielle Ausbreitung eines Virus ist eine brutale Angelegenheit. Die zu erwartenden Wirkungen zeigen ja das Modell.

Wenn wir jetzt – obwohl wir es besser wissen – Lockerungen machen, müssen wir nur um so schneller wieder zumachen, um die Krankenhäuser und Intensivstationen zu schützen – auch wenn wir wahrscheinlich nicht mehr die große Sterbewelle durch Covid-19 haben würden. Impfung sei Dank.

Wenn wir keinen Dauer- oder Jojo-Lockdown wollen gibt es nur #NOCOVID

Wie ich hier gezeigt habe, werden wir in irgendeiner Form noch mit Lockdowns leben müssen, bis alle (auch die Jugendlichen!) geimpft sind, wenn wir uns nicht der #NOCOVID Strategie verschreiben. Mit einem Kraftakt, einige Woche sehr harter Lockdown, bringen wir die Zahlen ganz tief runter, und können dann alle Fälle verfolgen und neue Wellen vermeiden. Vieles könnte wieder öffnen. Das ist doch das, was wir wollen.

Das was sich da gerade abzeichnet, jetzt Lockerungen, und dann um so härtere Einschränkungen ab April, kann doch keiner wollen.

Hier gibt es Lesestoff zu #nocovid.

Über #nocovid wurden schon so viel kommuniziert, auf allen möglichen Kanälen, da ist für jeden etwas dabei. Hier eine Sammlung: #YesToNoCovid https://t.co/1iodfvSobU

— Dirk Paessler (@dpaessler) February 22, 2021

Nachtrag 1: Wie man das Modell besser machen könnte

In diesem einfachen Modell habe ich einige Aspekte nicht berücksichtigt, die die Ergebnisse in beiden Richtungen beeinflussen würden (Quasi die TODO Liste für die nächsten Versionen):

• Mein Wachstums-Modell ist sehr einfach. Aus meiner Sicht für eine grobe Modellierung aber hinreichend gut. Angesichts der enormen Wachstums-Wirkungen bei 7-Tage-Wachstum von 1,4 dürften aber andere, feinere Modelle nicht auf grundlegend andere Ergebnisse kommen.
• In meinem Modell wird nur innerhalb der Altersgruppen gerechnet. Viele Ansteckungen passieren in der gleichen Altersgruppe, aber natürlich steckt ein Infizierter auch andere Altersgruppen an. Das müsste man ergänzen (und macht die Fälle der älteren Impfverweigerer dann schlechter als hier gezeigt)
• Meinem Modell geht vereinfachend davon aus, dass es in einer Altersgruppe ab 80% Impfquote keine Ansteckungen mehr gibt und dass eine Impfung 100% vor Ansteckung schützt.
• Die Saisonalität (Sommer/Winter) des Virus und insb. der Mutationen ist (mir) bisher unbekannt und nicht berücksichtigt.
• Sollten wir tatsächlich in eine Situation kommen, wo wir die Kontrolle verlieren (wenn die Kurven “nach oben abhauen”), dann würde die Bevölkerung auch ohne schärfere Lockdown Regelungen zum Selbstschutz zu Hause bleiben, und das Wachstum bremsen. Dann wären meine Modellergebnisse eine pessimistische Abschätzung.
• Die Höhere Sterblichkeit bei B.1.1.7 macht es noch schlimmer und ist bisher nicht eingerechnet.
• Die 2,5% Unter-80-Jährigen, die aktuell bereits geimpft sind (u.a. Menschen aus Pflege/Gesundheitssystem), berücksichtigt mein Modell auch noch nicht.

Nachtrag 2: Effekte, die eine bisher nicht berücksichtigte Wirkung auf die Ergebnisse haben (könnten)

• Wenn wir mehr „smarte Maßnahmen“ (z.B. millionenfache Schnelltests) machen würden, würde es besser werden, z.B. wenn in den Schulen und Kitas jedes Kind/Jugendlichen und jeden Erwachsenen zwei mal pro Woche testen würden, um Clusterbildung zu vermeiden. Alles was R senkt ist gut.
• Ebenso könnten Medikamente auftauchen, die den Verlauf erleichtern.
• Wenn wir die verwendeten 1,15 bzw. 1,5 Mio Impfungen pro Woche nicht schaffen, wird es schlechter
• Wenn wir doch mehr Impfstoff bekommen (und – wie gesagt – die zweite Dosis nach hinten schieben) wird es deutlich besser-
• Jeder der sich nicht Impfen läßt, wird eine Covid-Infektion durchmachen. Vielleicht nicht gleich in den nächsten Monaten, aber er wird. Trotzdem macht jeder, der sich nicht impfen läßt, die Lage für die Gesamtheit schlechter (und natürlich für sich persönlich auch).

Nachtrag 3: Google Sheets Datei

Update 4.3.2021:
Es gibt ein Update auf V3 dieses Modells, bitte dort weiterlesen.

Meine Berechnungen sind hier als Google Sheet einsehbar:

https://docs.google.com/spreadsheets/d/1pZjn7VC4i4QKTXv5Aj-4PSam7Gc7WpkOrlruKLt3YbM/edit?usp=sharing

Feedback bitte an: https://twitter.com/dpaessler

PS: Danke an Cornelius Römer, Frank und Christoph Montag für das kurzfristige Peer-Review.